📊 Determinanten

Determinanten von 2×2- und 3×3-Matrizen berechnen.

Was sagt die Determinante aus?

Die Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Geometrisch beschreibt sie den Flächeninhalt (2D) oder das Volumen (3D) des aufgespannten Parallelogramms/Parallelepipeds. Ist die Determinante Null, hat die Matrix keine Inverse — die Vektoren sind linear abhängig.

2×2 Determinante

det⁡(abcd)=a⋅d−b⋅c\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c

Hauptdiagonale minus Nebendiagonale

det = 3·4 - 2·1 = 10
(
3
2
1
4
)

Beispiel: 2×2 Determinante

1Matrix gegeben
A=(5−327)A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}

Wir berechnen det(A).

3×3 Determinante (Regel von Sarrus)

det⁡(A)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

mit A=(abcdefghi)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}

Sarrus-Schema:

Schreibe die ersten zwei Spalten nochmal rechts daneben. Dann: Produkte der drei Diagonalen ↘ addieren, Produkte der drei Diagonalen ↗ subtrahieren.

Beispiel: 3×3 Determinante (Sarrus)

1Matrix gegeben
A=(123456780)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}

Wir berechnen die Determinante mit Sarrus.
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