🔄 Inverse Matrix

Die inverse Matrix berechnen — das „Teilen" bei Matrizen.

Wofür braucht man die Inverse?

Bei normalen Zahlen ist die Inverse von aa einfach 1a\frac{1}{a} — damit kann man „durch aa teilen". Bei Matrizen gibt es keine Division, aber die inverse Matrix A−1A^{-1} erfüllt die gleiche Aufgabe:

A⋅A−1=A−1⋅A=IA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I

(wobei II die Einheitsmatrix ist)

Visuell

A
(
2
1
5
3
)
 ·
A⁻¹
(
3
-1
-5
2
)
 =
I
(
1
0
0
1
)

Formel für 2×2

A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

für A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

⚠️ Existenzbedingung:

Die Inverse existiert nur, wenn det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0 ist!

Beispiel: Inverse einer 2×2 Matrix

1Matrix gegeben
A=(4726)A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}

Wir berechnen A⁻¹.
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