📐 Grundlagen der Matrizenrechnung

Was ist eine Matrix? Dimensionen, spezielle Matrizen und Notation.

Warum Matrizen?

Matrizen begegnen uns überall: In der Computergrafik werden Bilder als Matrizen aus Pixelwerten gespeichert. Navigation-Apps lösen mit Matrizen kürzeste Wege. In der Wirtschaft beschreiben sie Produktionsmengen und Preise. Im Abitur sind sie ein zentrales Werkzeug der linearen Algebra.

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten:

Eine 2×3 Matrix
(
1
2
3
4
5
6
)

Diese Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten — wir sagen, sie hat die Dimension 2×3.

Mathematische Notation

Eine allgemeine Matrix AA mit mm Zeilen und nn Spalten:

A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)∈Rm×nA = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}

Das Element aija_{ij} steht in der ii-ten Zeile und jj-ten Spalte.

Spezielle Matrizen

Einheitsmatrix

Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen:

I₃
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)

Nullmatrix

Alle Einträge sind Null:

O₂
(
0
0
0
0
)

Quadratische Matrix

Gleich viele Zeilen und Spalten:

2×2
(
3
1
7
2
)

Transponierte Matrix

Zeilen und Spalten tauschen:

AT:Zeilen↔SpaltenA^T: \text{Zeilen} \leftrightarrow \text{Spalten}

Beispiel: Elemente ablesen

1Matrix gegeben
A=(5−3704−1)A = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}

Wir haben eine 2×3 Matrix A.
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