⚙️ Lineare Gleichungssysteme

LGS mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

Alltagsbeispiel

3 Äpfel und 2 Birnen kosten 8 €. 1 Apfel und 4 Birnen kosten 9 €. Wie viel kostet ein Apfel, wie viel eine Birne? Das ist ein lineares Gleichungssystem — und mit Matrizen können wir es systematisch lösen.

Matrixdarstellung eines LGS

Jedes LGS Ax=bAx = b lässt sich als erweiterte Koeffizientenmatrix schreiben:

{3x1+2x2=8x1+4x2=9⇒(328149)\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 = 8 \\ x_1 + 4x_2 = 9 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}\right)

Der Gauß-Algorithmus

Ziel: Die erweiterte Matrix durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform bringen.

Erlaubte Operationen:

  • Zwei Zeilen vertauschen
  • Eine Zeile mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren
  • Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren

Beispiel: LGS mit Gauß lösen

1Erweiterte Matrix aufstellen
(328149)\left(\begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}\right)

Koeffizienten und rechte Seite in eine Matrix schreiben.

Lösungsfälle

Genau eine Lösung

det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0

Die Zeilen der Stufenform haben jeweils eine führende 1.

Unendlich viele Lösungen

Es entsteht eine Nullzeile (0 0 ... | 0).

Freie Parameter möglich.

Keine Lösung

Es entsteht ein Widerspruch: (0 0 ... | k) mit k ≠ 0.

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