🔢 Matrixmultiplikation

Zwei Matrizen miteinander multiplizieren — Zeile mal Spalte.

Alltagsbeispiel

Eine Fabrik produziert Produkte aus Rohstoffen. Matrix A zeigt, wie viele Rohstoffe pro Produkt nötig sind. Matrix B zeigt die Rohstoffpreise. Die Matrixmultiplikation A · B liefert direkt die Produktionskosten pro Produkt.

Visuell: Zeile × Spalte

A
(
1
2
3
4
)
 ·
B
(
5
6
7
8
)
 =
A · B
(
19
22
43
50
)

Element c11c_{11}: Zeile 1 von A · Spalte 1 von B = 1·5 + 2·7 = 19

Formale Definition

(A⋅B)ij=∑k=1naik⋅bkj(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}

⚠️ Voraussetzung:

AA muss so viele Spalten haben wie BB Zeilen hat! Für A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} und B∈Rn×pB \in \mathbb{R}^{n \times p} ist A⋅B∈Rm×pA \cdot B \in \mathbb{R}^{m \times p}.

Beispiel: 2×2 · 2×2

1Aufgabe
(2103)⋅(4−125)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

Beide sind 2×2, das Ergebnis ist auch 2×2.

Wichtige Eigenschaft

🚫 Nicht kommutativ!

Im Allgemeinen gilt A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A. Die Reihenfolge ist wichtig!

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